【初等变换法求逆矩阵】在矩阵运算中，求一个矩阵的逆矩阵是一项重要的操作。当一个方阵存在逆矩阵时，我们可以通过初等行变换的方法来求解其逆矩阵。这种方法不仅直观，而且在实际计算中非常实用。
一、初等变换法的基本思想
初等变换法的核心思想是：将原矩阵与单位矩阵并排组成一个增广矩阵，然后通过一系列的初等行变换，将原矩阵化为单位矩阵，此时单位矩阵部分就变成了原矩阵的逆矩阵。
具体步骤如下：
1. 将矩阵 $ A $ 和单位矩阵 $ I $ 拼接成一个增广矩阵 $ [A \mid I] $。
2. 对这个增广矩阵进行初等行变换，直到左边的矩阵 $ A $ 被变为单位矩阵 $ I $。
3. 此时右边的矩阵即为 $ A^{-1} $。
二、步骤总结（表格形式）
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 构造增广矩阵 | 将原矩阵 $ A $ 和单位矩阵 $ I $ 并排，形成 $ [A \mid I] $ |
| 2 | 进行初等行变换 | 使用三种初等行变换： ① 交换两行； ② 用非零常数乘以某一行； ③ 将某一行加上另一行的倍数 |
| 3 | 目标是将左边变为单位矩阵 | 通过不断变换，使左半部分变成 $ I $ |
| 4 | 右边即为逆矩阵 | 当左边为单位矩阵时，右边的矩阵即为 $ A^{-1} $ |
三、举例说明
假设我们有矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
$$
构造增广矩阵：
$$
| A \mid I] = \left[\begin{array}{cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right |
$$
进行初等行变换：
- 第一步：用第1行乘以3，减去第2行：
$$
R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1 \Rightarrow \left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & -3 & 1
\end{array}\right
$$
- 第二步：将第二行除以 -2：
$$
R_2 \rightarrow \frac{1}{-2}R_2 \Rightarrow \left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right
$$
- 第三步：用第二行乘以 -2 加到第一行：
$$
R_1 \rightarrow R_1 - 2R_2 \Rightarrow \left[\begin{array}{cc
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right
$$
最终得到：
$$
A^{-1} = \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix}
$$
四、注意事项
- 并非所有矩阵都有逆矩阵，只有行列式不为零的矩阵才可逆。
- 初等变换过程中要保持每一步的正确性，避免计算错误。
- 若在变换过程中发现无法将左边变为单位矩阵，则说明原矩阵不可逆。
五、总结
初等变换法是一种系统且直观的方法，适用于求解小规模矩阵的逆矩阵。通过合理的行变换操作，可以有效地将原矩阵转化为单位矩阵，从而得到其逆矩阵。掌握这一方法对于理解矩阵运算和线性代数的基础知识具有重要意义。