【二项分布公式是什么】二项分布是概率论中一种重要的离散型概率分布，常用于描述在独立重复试验中，成功次数的概率分布。它适用于只有两种可能结果的实验，例如“成功”或“失败”、“正面”或“反面”。
一、二项分布的基本概念
二项分布需要满足以下条件：
1. 实验由n次独立的重复试验组成；
2. 每次试验只有两个可能的结果：成功（记为1）或失败（记为0）；
3. 每次试验中成功的概率为p，失败的概率为1 - p；
4. 我们关注的是n次试验中成功k次的概率。
二、二项分布的公式
二项分布的概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中：
- $ P(X = k) $ 表示在n次独立试验中恰好成功k次的概率；
- $ C(n, k) $ 是组合数，表示从n个中选出k个的方式数，计算公式为：
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
- $ p $ 是每次试验成功的概率；
- $ 1 - p $ 是每次试验失败的概率；
- $ n $ 是试验总次数；
- $ k $ 是成功的次数（$ 0 \leq k \leq n $）。
三、二项分布的性质
| 属性 | 公式或说明 |
| 数学期望 | $ E(X) = np $ |
| 方差 | $ Var(X) = np(1 - p) $ |
| 标准差 | $ \sigma = \sqrt{np(1 - p)} $ |
四、二项分布的应用举例
| 场景 | 说明 |
| 投硬币 | 投n次硬币，正面出现k次的概率 |
| 质量检测 | 在n件产品中发现k件不合格品的概率 |
| 选举预测 | 在n名选民中支持某候选人的人数概率 |
五、总结
二项分布是一种描述n次独立重复试验中成功次数的概率分布模型。其核心公式为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
通过该公式，可以计算出在特定条件下事件发生的概率，广泛应用于统计学、金融、医学等领域。
| 项目 | 内容 |
| 分布类型 | 离散型 |
| 应用场景 | 二元结果的重复试验 |
| 核心公式 | $ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $ |
| 期望值 | $ np $ |
| 方差 | $ np(1 - p) $ |