【tan75度是多少】在三角函数中，正切（tan）是一个重要的函数，常用于计算直角三角形中两个边的比例关系。对于一些常见的角度，如30°、45°、60°等，我们可以通过公式或记忆直接得出它们的正切值。而对于像75°这样的非标准角度，通常需要通过三角恒等式来计算。
一、tan75°的计算方法
75°可以表示为45° + 30°，因此我们可以使用正切的加法公式：
$$
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}
$$
将 $ a = 45^\circ $，$ b = 30^\circ $ 代入公式：
- $\tan 45^\circ = 1$
- $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
代入得：
$$
\tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}
$$
为了化简分母，我们可以进行有理化处理：
$$
\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \times \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{6} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}
$$
因此，tan75° = 2 + √3。
二、tan75°的数值近似值
虽然精确值是 $2 + \sqrt{3}$，但在实际应用中，我们可能更关注其数值近似值。根据计算：
$$
\sqrt{3} \approx 1.732
$$
所以：
$$
2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1.732 = 3.732
$$
三、总结表格
| 角度 | 正切值（精确表达） | 正切值（近似值） |
| 75° | $2 + \sqrt{3}$ | 约3.732 |
四、小结
tan75°是一个常见的三角函数值，可以通过加法公式推导得到。它不仅在数学中具有重要意义，在工程、物理和计算机图形学等领域也有广泛应用。掌握这一值有助于提高对三角函数的理解和应用能力。