【超几何分布的期望和方差公式】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种离散型概率分布，用于描述在不放回抽样中成功次数的概率分布。它常用于从有限总体中抽取样本时，已知总体中某种特征的数量，求出样本中该特征数量的概率。
本文将对超几何分布的期望和方差公式进行总结，并以表格形式展示关键内容，帮助读者更清晰地理解其数学表达和应用方式。
一、超几何分布的基本概念
设一个总体共有 $ N $ 个个体，其中有 $ K $ 个“成功”个体。从中随机抽取 $ n $ 个个体（不放回），则样本中“成功”个体的数量 $ X $ 服从超几何分布，记为：
$$
X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n)
$$
二、超几何分布的期望和方差公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 期望（均值） | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ | 表示在 $ n $ 次不放回抽样中，平均能抽到的成功数量 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ | 表示样本中成功次数的波动程度，包含有限总体校正因子 |
三、公式解释与注意事项
1. 期望的直观意义：
超几何分布的期望等于样本容量 $ n $ 乘以总体中成功的比例 $ \frac{K}{N} $。这与二项分布的期望类似，但超几何分布考虑了不放回抽样的影响。
2. 方差的特殊性：
超几何分布的方差比二项分布小，因为不放回抽样减少了样本之间的独立性。因此，方差公式中多了一个修正因子 $ \frac{N - n}{N - 1} $，称为“有限总体校正因子”。
3. 适用范围：
超几何分布适用于小样本或有限总体的情况，而当总体很大时，可以近似使用二项分布。
四、实际应用举例
例如，一个班级有 50 名学生，其中 20 人是男生。从中随机抽取 10 人，问男生人数的期望是多少？方差是多少？
- 代入公式：
- 期望：$ E(X) = 10 \cdot \frac{20}{50} = 4 $
- 方差：$ \text{Var}(X) = 10 \cdot \frac{20}{50} \cdot \left(1 - \frac{20}{50}\right) \cdot \frac{50 - 10}{50 - 1} = 10 \cdot 0.4 \cdot 0.6 \cdot \frac{40}{49} \approx 1.96 $
五、总结
超几何分布的期望和方差公式是统计学中重要的工具，尤其在处理有限总体的抽样问题时具有重要意义。通过理解这些公式，可以更好地分析和预测实际问题中的随机变量行为。
| 项目 | 内容 |
| 分布类型 | 离散型 |
| 参数 | 总体大小 $ N $，成功数 $ K $，样本容量 $ n $ |
| 期望 | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
| 特点 | 不放回抽样，有限总体，方差小于二项分布 |
如需进一步了解超几何分布与其他分布的关系（如二项分布、泊松分布等），可继续深入学习相关章节。