问行列式的基本计算公式

【行列式的基本计算公式】行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于矩阵的求逆、解线性方程组、特征值计算等领域。行列式的计算方法因矩阵的阶数不同而有所区别，下面对常见的低阶行列式的计算公式进行总结，并以表格形式展示。

一、行列式的定义

对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A = (a_{ij}) $，其行列式记作 $ A $ 或 $ \det(A) $，表示该矩阵所对应的线性变换在几何上所改变的体积比例。

二、常见行列式的计算公式

1. 一阶行列式（1×1 矩阵）

若矩阵为 $ [a] $，则其行列式为：

$$

$$

2. 二阶行列式（2×2 矩阵）

对于矩阵：

$$

A = \begin{bmatrix}

a & b \\

c & d

\end{bmatrix}

$$

其行列式为：

$$

$$

3. 三阶行列式（3×3 矩阵）

对于矩阵：

$$

A = \begin{bmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{bmatrix}

$$

其行列式可以使用展开法或对角线法则计算：

展开法（按第一行展开）：

$$

$$

对角线法则：

$$

$$

4. 高阶行列式（n×n 矩阵）

对于 $ n \geq 4 $ 的矩阵，通常采用余子式展开法（按行或列展开）或三角化法来计算行列式。例如，按第 $ i $ 行展开：

$$

$$

其中，$ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的子矩阵的行列式，称为余子式。

三、行列式计算公式总结表

四、注意事项

- 行列式的值可以为正、负或零。

- 若行列式为零，则矩阵不可逆。

- 行列式的性质包括：交换两行（列）变号；某一行（列）乘以常数，行列式也乘以该常数等。

通过掌握这些基本计算公式，可以更高效地进行矩阵运算和线性代数相关的分析与应用。