【初二课时一元二次方程第4节公式法】在学习一元二次方程的过程中，除了配方法和因式分解法之外，还有一种更为通用且高效的解题方法——公式法。本节课将重点介绍一元二次方程的求根公式及其应用。
一、什么是公式法？
公式法是指利用一元二次方程的一般形式：
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
通过代入标准求根公式来求出方程的解。该公式为：
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 是已知常数，且 $ a \neq 0 $。
二、公式的推导过程（简要）
1. 从一般式出发：
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
2. 移项：
$$ ax^2 + bx = -c $$
3. 两边同时除以 $ a $：
$$ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} $$
4. 配方：
$$ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $$
5. 左边变为完全平方，右边化简：
$$ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $$
6. 开平方并整理得：
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
三、判别式的作用
在使用公式法时，判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 起到关键作用：
| 判别式 D 的值 | 方程的解的情况 |
| $ D > 0 $ | 有两个不相等的实数根 |
| $ D = 0 $ | 有两个相等的实数根（即重根） |
| $ D < 0 $ | 没有实数根（有两个共轭复数根） |
四、使用公式法的步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 将方程化为标准形式 $ ax^2 + bx + c = 0 $ |
| 2 | 确定系数 $ a $、$ b $、$ c $ |
| 3 | 计算判别式 $ D = b^2 - 4ac $ |
| 4 | 根据判别式的值判断解的类型 |
| 5 | 代入公式 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $ 得到解 |
五、例题解析
例题： 解方程 $ 2x^2 + 5x - 3 = 0 $
- 系数：$ a = 2 $, $ b = 5 $, $ c = -3 $
- 判别式：
$$ D = 5^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49 $$
- 解为：
$$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-5 \pm 7}{4} $$
- 所以：
$$ x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-12}{4} = -3 $$
六、总结
公式法是解决一元二次方程最直接、最有效的方法之一，尤其适用于难以用因式分解或配方法求解的题目。掌握好公式法，不仅可以提高解题效率，还能增强对二次方程的理解与应用能力。
表格总结：
| 方法 | 适用情况 | 优点 | 缺点 |
| 公式法 | 任何一元二次方程 | 通用性强，解准确 | 计算较复杂 |
| 因式分解法 | 方程能分解成两个一次因式 | 快速简便 | 仅限于特定方程 |
| 配方法 | 方程较复杂或无法分解 | 可用于推导公式 | 过程繁琐 |