【等差数列通项公式】在数学中，等差数列是一种重要的数列类型，其特点是相邻两项之间的差值恒定。这个固定的差值称为“公差”，记作 $ d $。等差数列的每一项都可以通过一个公式来表示，这个公式被称为“通项公式”。掌握等差数列的通项公式，有助于我们快速求出数列中的任意一项。
一、等差数列的基本概念
- 首项：数列的第一个数，通常用 $ a_1 $ 表示。
- 公差：数列中任意两个相邻项的差，用 $ d $ 表示。
- 第 $ n $ 项：数列中第 $ n $ 个位置上的数，用 $ a_n $ 表示。
二、等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ d $ 是公差；
- $ n $ 是项数（正整数）。
三、通项公式的应用
通过这个公式，我们可以快速求出等差数列中任意一项的值。例如：
- 如果已知首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，那么第 5 项为：
$$
a_5 = 3 + (5 - 1) \times 2 = 3 + 8 = 11
$$
- 第 10 项为：
$$
a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 18 = 21
$$
四、总结与对比
| 项目 | 内容说明 |
| 数列名称 | 等差数列 |
| 定义 | 每相邻两项的差为常数（公差） |
| 首项 | $ a_1 $，数列的第一个数 |
| 公差 | $ d $，相邻两项的差 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 应用场景 | 快速计算数列中的任意一项，如求第 $ n $ 项的值 |
| 举例 | 若 $ a_1 = 5 $，$ d = 3 $，则 $ a_4 = 5 + (4 - 1) \times 3 = 14 $ |
五、注意事项
- 公差可以是正数、负数或零；
- 如果 $ d = 0 $，则数列为常数列；
- 通项公式适用于所有等差数列，无论其公差是正还是负。
通过理解并掌握等差数列的通项公式，我们可以更高效地分析和解决相关的数学问题。它是数列学习的基础之一，也是后续学习等比数列、数列求和等内容的重要基础。